在積分篇里，我們一直在跟電場、磁場的通量打交道。我們?nèi)我猱嬕粋�曲面，這個曲面可以是閉合的，也可以不是，然后我們讓電場線、磁感線穿過這些曲面，它們就兩兩結(jié)合形成了四個積分形式的方程組。從這里我們能感覺到：麥克斯韋方程組的積分形式是從宏觀角度來描述問題，這些曲面都是宏觀可見的東西。那么微分形式呢？微分形式似乎應(yīng)該從微觀角度去看問題，那么我們要怎樣把曲面、通量這些宏觀上的東西弄到微觀里來呢

一個很簡單的想法就是：我讓宏觀上的東西縮小縮小，直到縮小成一個點(diǎn)，這樣不就進(jìn)入微觀了么？積分形式的麥克斯韋方程組需要選定一個曲面，但是它并沒有限定這個曲面的大小，我可以把這個曲面選得很大，也可以選得很小。當(dāng)你把這個曲面選得很小很小的時候，麥克斯韋方程組的積分形式就自然變成了微分形式。所以，微分形式的基本還是很簡單的，它真正麻煩的地方是在于如何尋找一種方便的計算方式，這些我后面會細(xì)說。好，下面進(jìn)入正題。麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電（高斯電場定律）、靜磁（高斯磁場定律）、磁生電（法拉第定律）、電生磁（安培-麥克斯韋定律）。這四個方程各有積分和微分兩種形式，積分形式我們上篇已經(jīng)說過了，微分形式我們還是按照順序，也從靜電開始。
01微分形式的靜電在積分篇里，我們是這樣描述靜電的：在空間里任意畫一個閉合曲面，那么通過閉合曲面的電場線的數(shù)量（電通量）就跟這個曲面包含的電荷量成正比。用公式表述就是這樣：

這就是積分形式的高斯電場定律：左邊表示通過閉合曲面S的電通量（E是電場強(qiáng)度，我們把面積為S的閉合曲面分割成許多小塊，每一個小塊用da表示，那么通過每一個小塊面積的電通量就可以寫成E?da。套上一個積分符號就表示把所有小塊的電通量累加起來，這樣就得到了通過整個閉合曲面S的電通量），右邊那個帶了enc下標(biāo)的Q就表示閉合曲面包含的電荷量，ε0是個常數(shù)。下面是重點(diǎn)：因為這個閉合曲面S是可以任何選取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各種亂七八糟的閉合曲面。那么我們就不妨來學(xué)習(xí)一下孫悟空，變小變小再變小，我讓這個閉合曲面也一直縮小縮小，縮小到無窮小，那么這時候高斯電場定律會變成什么樣呢？這里會涉及一丟丟極限的概念，我們這樣考慮：一個閉合曲面縮小到無窮小，其實(shí)就是它的表面積或者體積無限趨向于0。也就是說，我假設(shè)有一個球的體積為ΔV，然后讓這個ΔV無限趨于0，那這樣就可以表示這個球縮小到無窮小了。用數(shù)學(xué)符號可以記成這樣：

Lim就是英文單詞極限（limit）的縮寫，ΔV通過一個箭頭指向0可以很形象的表示它無限趨于0。有了這個極限的概念，我們就可以很自然的表示通過這個無窮小曲面的電通量了（直接在電通量的前面加個極限符號），這時候高斯電場定律就成了這樣：

這樣，我們就把高斯電場定律從宏觀拉到了微觀：方程的左邊表示曲面縮小到無窮小時的電通量，方程的右邊表示無窮小曲面包含的電荷量。但是，當(dāng)曲面縮小到無窮小的時候，我們再使用電荷量Q就不合適了，所以我們改用電荷密度（符號為ρ）。電荷密度，從名字里我們就能猜出它表示的是單位體積內(nèi)包含電荷量的大小，所以它的表達(dá)式應(yīng)該是用電荷量除以體積，即：ρ=Q/V。所以，如果我們把微觀的高斯電場定律左右兩邊都同時除以體積ΔV，那么右邊的電荷量Q除以體積Δ就變成了電荷密度ρ，左邊我們也再除以一個ΔV，那么公式就變成了下面這樣：

公式的右邊除以一個體積ΔV，就成了電荷密度ρ除以真空介電常數(shù)ε0，那左邊呢？左邊原來是通過無窮小曲面的電通量，這玩意除以一個體積ΔV之后表示什么呢？這一長串的東西，我們給它取了個新名字：散度。也就是說，電場E在一個點(diǎn)（被無窮小曲面圍著的這個點(diǎn)）上的散度被定義為電場通過這個無窮小曲面的電通量除以體積。散度的英文單詞是pergence，所以我們通常就用p(E)表示電場E的散度，即：

所以，高斯電場定律的微分形式就可以表示成這樣：

它告訴我們：電場在某點(diǎn)的散度跟該點(diǎn)的電荷密度成正比。然后呢？然后微分篇的第一個方程就這樣說完了？這只不過把高斯電場定律積分形式的曲面縮小到了無窮小，然后兩邊同時除了一個體積，右邊湊出了一個電荷密度，左邊巴拉巴拉湊出一大堆東西你告訴我這個新東西叫散度就完事了？不帶這么玩的！那這個散度到底有什么物理意義？我要如何去計算具體的散度（你用無窮小通量去定義散度倒是好定義，但是這樣計算可就麻煩了）？還有，很多人多多少少知道一些麥克斯韋方程組的樣子，雖然不是很懂，那個倒三角符號?倒還是記得的，你這公式里為什么沒有?符號呢？
02初入江湖的?沒錯，我們用無窮小曲面的通量和體積的比值來定義散度，這樣定義是為了突出它跟通量之間的聯(lián)系，也方便大家從積分的思維自然的轉(zhuǎn)化到微分的思維中來。但是，這種定義在具體計算的時候是沒什么用的，我們不會通過去計算無窮小曲面的通量和體積的比值來計算一個點(diǎn)的散度，因為這樣實(shí)在是太麻煩了。我們有種更簡單的方式來計算電場在某個點(diǎn)的散度，而這種方法，就會使用到我們熟悉的倒三角?符號。在這種新的表示方法里，電場E的散度可以被寫成這樣：??E，所以我們就可以用這個東西替換掉方程左邊p(E)，那么麥克斯韋方程組的第一個方程??描述靜電的高斯電場定律的微分形式就可以寫成這樣：

這樣寫的話，是不是就感覺熟悉多了？也就是說，同樣是為了表示散度，我們用??E代替了代替了原來無窮小曲面通量和體積比值那么一大串的東西。而且這樣還非常好計算，使用這種新的方式，你只要給出一個電場，我分分鐘就可以把電場的散度寫出來。這種倒三角?符號，絕對是符號簡化史上的奇跡。所以，我接下來的工作，或者說理解麥克斯韋方程組的微分形式的核心內(nèi)容，就是要來告訴大家這個倒三角?符號到底是什么意思，??（后面加了一個點(diǎn)）又是什么意思？為什么??E可以表示電場E的散度就？為什么??E跟我們前面散度的定義p（E）是等價的？也就是說：

為什么上面的式子是相等的，而且都可以用來表示電場E的散度？這就是我在開篇說的：微分形式的基本還是很簡單的，它真正麻煩的地方在于如何尋找一種方便計算的方式，這種方便的計算方式自然就是?。那么我們接下來就先把電磁相關(guān)的物理內(nèi)容擱置一旁，先一起來看一看這個傳奇符號?的前世今生，理解了它，你就理解了麥克斯韋方程組的微分形式的精髓。
03從導(dǎo)數(shù)說起要理解?，我們還是得先再來看一看這個衡量事物變化快慢的概念：導(dǎo)數(shù)。說“再”是因為我們在積分篇里已經(jīng)講過了：法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)，發(fā)現(xiàn)變化的磁場能產(chǎn)生電場，而且磁場變化得越快，產(chǎn)生的電場越大。這里我們就需要這樣一個量來描述磁場變化的快慢，只不過當(dāng)時我們沒有展開說。我還是借用上篇身高的例子來看看我們是如何描述變化的快慢的。一個人在十二三歲的時候一年可以長10厘米，我們說他這時候長得快；到了十七八歲的時候可能一年就只能長1厘米，我們就說他長得慢。也就是說，我們衡量一個量（這里就是身高，假設(shè)身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個變化的時間dt（比如一年，或者更小），看看這個量的變化Δy是多少，如果這個量的變化很大我們就說它變化得很快，反之則變化得慢。在這里，我稍微解釋一下Δy和dy的區(qū)別：如下圖所示，我們假設(shè)函數(shù)在x軸上有一個增量Δx，這個用Δx或者dx表示都一樣，兩者相等。但是，這個在x軸上的變化帶來的y軸上的變化就不一樣了：Δy表示的是y軸實(shí)際的變化量，是我用前后兩個不同的x對應(yīng)的y值直接相減得到的真實(shí)結(jié)果；而dy則不是，dy是我們在M點(diǎn)做了一條切線，然后我用這條直線來代替曲線，當(dāng)x軸上變化了Δx的時候這條直線上對應(yīng)y上的變化。

從這個圖里我們可以看到：Δy的值是要比dy大一點(diǎn)點(diǎn)的，但是隨著Δx或者dx的減小，它們的之間的差值會急速減小，比Δx減小的快得多，這個差值也是我們常說的高階無窮小。Δy叫做函數(shù)從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的增量，而dy則被叫做函數(shù)的微分，或者叫它的線性主部。“以直（dy）代曲(Δy)”是現(xiàn)代微積分的一個核心，從這個圖里可見一斑。

在微積分剛創(chuàng)立的時候，萊布尼茨把dx看作一個接0但又不等于0的無窮小量，這種“樸素”的思維很符合直覺，而且用這種來計算也沒什么錯，但是它的基礎(chǔ)是非常不牢固的。正是這種幽靈般的無窮小量dx（時而可以看作是0，時而可以當(dāng)除數(shù)約分）導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過一個多世紀(jì)的搶救才給微積分找到了一個堅實(shí)的地基：極限理論。

（一）、麥克斯韋方程組公式及其物理意義

麥克斯韋方程組關(guān)于電磁波等的預(yù)言為實(shí)驗所證實(shí)，證明了位移電流假設(shè)和電磁場理論的正確性。這個電磁場理論對電磁學(xué)、光學(xué)、材料科學(xué)以及通訊、廣播、電視等等的發(fā)展都產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響。它是物理學(xué)中繼牛頓力學(xué)之后的又一偉大成就。麥克斯韋方程組，是英國物理學(xué)家詹姆斯?克拉克?麥克斯韋在19世紀(jì)建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律...查看更多